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可导函数的定义

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0328

可导函数的定义如下：

设函数 ( f(x) ) 在某点 ( x_0 ) 的某一邻域内有定义，如果存在一个常数 ( A )，使得当自变量 ( x ) 在 ( x_0 ) 附近取得增量 ( Delta x ) 时，函数 ( f(x) ) 的增量 ( Delta y ) 可以表示为：

[ Delta y = A Delta x + o(Delta x) ]

其中 ( o(Delta x) ) 表示当 ( Delta x ) 趋近于0时，比 ( Delta x ) 高阶的无穷小量。

此时，称函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 可导，常数 ( A ) 被称为函数 ( f(x) ) 在点 ( x_0 ) 的导数，记作：

[ f'(x_0) = A ]

如果函数 ( f(x) ) 在其定义域内的每一点都存在导数，那么称函数 ( f(x) ) 在其定义域内可导。

可导性是函数微分学中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的局部线性逼近能力。如果一个函数在某点可导，那么它在该点处具有局部线性化性质，可以用一条切线来近似表示函数在该点的行为。