收敛与发散的判别方法

在数学分析中，对于数列、函数序列以及级数等，收敛与发散的判别是重要的内容。以下是一些常见的收敛与发散的判别方法：

数列的收敛与发散判别

1. 有界性：

如果一个数列有界（即存在某个正数M，使得数列中所有项的绝对值都不超过M），那么它不一定收敛，但收敛的数列一定有界。

2. 单调有界原理：

如果一个数列单调递增（或递减）且有界，那么这个数列是收敛的。

3. 极限的定义：

根据数列极限的定义，如果对于任意小的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n > N时，数列的项与某常数a的差的绝对值小于ε，那么数列收敛于a。

4. 柯西准则：

如果对于任意给定的ε > 0，存在一个正整数N，使得当m, n > N时，数列的第m项与第n项的差的绝对值小于ε，那么数列收敛。

级数的收敛与发散判别

1. 比值判别法：

如果级数的通项满足(lim_{n to infty