判断一个函数是否是有界函数，可以遵循以下步骤：
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1. 定义理解：首先明确什么是有界函数。一个函数称为有界函数，如果存在一个正常数M，使得对于函数定义域内的所有x，都有f(x) ≤ M。
2. 检查函数值：观察函数的值是否在一定范围内。对于连续函数，可以观察其在一个有限区间上的最大值和最小值。
3. 使用定义：
步骤一：选择一个正常数M。
步骤二：检查是否对于所有x属于函数的定义域，都有f(x) ≤ M。
如果存在至少一个x使得f(x) > M，那么函数不是有界的。
如果对于所有x，f(x)都小于或等于M，那么函数是有界的。
4. 极限分析：
对于无限区间上的函数，可以通过分析函数的极限来判断。
如果函数在某一点的极限是无限的，那么该函数在该点附近不是有界的。
如果函数在整个定义域上极限都是有限的，那么函数是有界的。
5. 反证法：
假设函数是有界的，那么应该存在一个正常数M使得对于所有x，f(x) ≤ M。
如果找不到这样的M，那么函数不是有界的。
以下是一些具体的情况：
常数函数：常数函数总是有界的，因为其值始终是固定的。
有理系数的多项式函数：在实数域上，有理系数的多项式函数是有界的。
三角函数：例如正弦函数和余弦函数，它们在实数域上是有界的。
通过上述方法，你可以判断一个函数是否是有界函数。在实际操作中，有时需要借助数学工具和定理来辅助判断。
